2024-11-12

【書評】実験の計画と解析(第9章)

今回読んだ本はこちら↓

Design and Analysis of Experiments, 9th Edition

Douglas C. Montgomery

第9章　要因計画と部分要因計画の追加の計画と分析トピック

ここまでのセクションでは
主に2水準の因子を扱ってきましたが
このセクションでは３水準以上を扱います

ただし、著者が指摘している通り
３水準の場合は実験回数が大幅に増加するため
２水準の計画を段階的に実施する方が好ましいようです

また、教科書的な計画は実態に合わない場合が多く
その際はソフトウェアによる計画作成が有効そうです

以下、内容の要約です

9.1 $3^k$ 要因計画

k因子がそれぞれ3つの水準にある場合の計画
因子数と共に大規模な計画となるため
3因子以上の場合はあまり有用ではない

$2^k$ 計画と比較し
応答の曲線性を検出しうるが
前述の中心複合計画や
後述の応答局面計画の方が有用

n回の反復がある場合
合計の自由度は $n3^k-1$ であり
各自由度の振り分けは以下の通り

主効果　　　：各2
k因子交互作用：各 $2^k$
誤差　　　　： $3^k(n-1)$

k因子交互作用は自由度2をもつ
$2^{k-1}$ 個のコンポーネントに分割される
コンポーネントに物理的な意味はないが
ブロッキングを実行する際に有用

9.2 $3^k$ 要因計画における交絡

$3^k$ 計画は実施回数が多くなるため
基本的にブロッキングが必須
ブロックへの割り付けは定義コントラストを用いて実施する

9.3 $3^k$ 要因計画の部分複製

$2^k$ 要因計画のときと同様の方法で部分計画を作成できる

$3^k$ 計画の実験回数を $(\frac{1}{3})^p$ したものを
$3^{k-p}$ 計画と呼ぶ

$2^k$ 要因計画と比較しエイリアス関係が複雑となり
交互作用の効果が無視できることが明確な場合以外は有効ではない

交互作用が有意である可能性がある場合でも
交互作用のコンポーネントが分離されるため
交互作用の効果のみを分離することができない
（フォールドオーバーする手法も存在せず）

9.4 混合水準の要因

$2^k$ 要因計画の2因子を用いて
3水準もしくは4水準を割り付けることも可能

ただし、因子が定性的な場合の使用が望ましく
定量的な因子の場合は2kの中心複合計画が有用

9.5 非正規部分要因計画

通常の正規部分計画より優れた計画

正規部分要因計画である $2^{k-p}$ 計画は
エイリアスしている要因同士が完全に交絡している
したがって、主効果と交互作用がエイリアスしている場合
どちらの効果が有意であるか判断するには
追加の実験などが必要となる

非正規部分要因計画はエイリアスが不完全であるため
上記のような状況においてどちらの効果が有意であるか判断が可能

試行回数16回の非正規部分要因計画の解像度は以下の通り

6, 7, 8因子　⇒　解像度Ⅳ
9～14因子　⇒　解像度Ⅲ

4因子以下の計画に射影することも可能
解析方法としては前方ステップワイズ法が最適

9.6 最適化計画ツールを使用した要因計画と部分要因計画の作戦

最適化ツールを用いることで
さらに効率のよい計画をつくることも可能
（試行回数18回、9因子、分解能Ⅳや
　試行回数12回、6因子、分解能Ⅳなど）

ただし、効果や回帰係数の予測精度が低下する

教科書に記載されている標準的な計画が実際の状況に合わない場合は多いが
ソフトウェアを使用することで実際の状況に合わせた計画が立てられる

2024-11-07

【書評】実験の計画と解析(第8章後半)

今回読んだ本はこちら↓

Design and Analysis of Experiments, 9th Edition

Douglas C. Montgomery

第８章２水準部分要因計画

8.5 一部実施要因計画およびその他の計画におけるエイリアス構造

これまで説明されてきた一般的な $2^k$ 計画であれば
エイリアス構造は定義関係から導出することができるが
応用的な計画では同様の方法でエイリアス関係を導出できない

その場合の代数的な導出方法を解説

8.6 解像度Ⅲ計画

主効果が2次交互作用とエイリアス化されている計画
一部の主効果にのみ効果が期待される場合に有効

解像度Ⅲ計画では最大 k = N − 1 因子を
N = k + 1 回の実行で調査することが可能( N は4の倍数 )
k = N - 1 の計画を飽和計画と呼ぶ

飽和計画の例として以下が頻出

$2^{3-1}$ （ $L_4$ 直交表）
$2^{7-4}$ （ $L_8$ 直交表）
$2^{15-11}$ （ $L_{16}$ 直交表）

因子をk以下に減らすことも可能で
元の計画から列を削除すればOK

フォールドオーバー

特定の因子の符号を変更した計画の追加実施は
フォールドオーバーと呼ばれ
特定の主効果や交互作用の交絡しない情報が得られる

単一因子フォールドオーバー
1つの因子のみ符号を反転した計画を追加実施すること
符号を反転した因子の
主効果と2因子交互作用の情報が得られる
（フル）フォールドオーバー
すべての因子の符号を反転した計画を追加実施すること
すべての因子の主効果の情報が得られる

フォールドオーバーする場合元の計画と追加の計画を
それぞれブロックとして扱うことも可能

ブロックの効果は一方のブロックでは
符号が正でもう一方のブロックでは符号が負である効果と交絡する

フォールドオーバーした後の複合計画の生成子は
以下の関係がある

元の計画と複合計画で同じ符号の生成子の数：L
元の計画と複合計画で異なる符号の生成子の数：U

元の計画の生成子の数：L+U
複合計画の生成子の数：L+U-1

Plackett-Burman計画

これまで扱った計画は
総実験数Nが4の倍数でありかつ、2の累乗の場合であった

N=12, 20, 24, 28, 36の場合
Plakett-Burman計画を使用可能

この計画は非正規計画であり
主効果がその主効果を含まない2次交互作用のすべてと
交絡しているため
主効果と2次交互作用全体の情報が手に入る

またその射影性に特徴がある

$2^{k-p}_{III}$ 計画：任意の2因子完全計画に射影
Plakett-Burman $_{III}$ 計画：任意の3因子完全計画に射影
例) N=12の場合
2因子に射影 ⇒ $2^2$ 計画×3
3因子に射影 ⇒ $2^3$ 計画+ $2^{3-1}$ 計画
4因子に射影 ⇒ 5Run不足の $2^4$ 計画 or 1Run不足の $2^{4-1}$ 計画

8.7 解像度Ⅳ, Ⅴの計画

解像度Ⅳの計画

主効果が2次交互作用とエイリアス化されておらず
2次交互作用は互いにエイリアス化されている計画

$2^{k+1-p}_{IV}$ は $2^{k-p}_{III}$ 計画を
フルフォールドオーバーすることで得ることができる

$2^{k-p}$ 計画は最低でも2k回の試行回数が必要（最小計画）

解像度Ⅳの計画のフォールドオーバーについては以下の通り

フルフォールドオーバー
元の計画と同一の計画となり得られる情報が増えない
単一因子フォールドオーバー
実験の実施回数に対して得られる情報が少なく効率が悪い
部分フォールドオーバー（NEW）
単一因子フォールドオーバーの内
選択した因子が+もしくは-符号となる半分の実験のみを実施する

単一フォールドオーバーと部分フォールドオーバーで
推定できる2因子交互作用の数は同じ
ただし、部分フォールドオーバーの場合は
効果や回帰モデル係数の標準誤差が増加する

解像度Ⅴの計画

すべての主効果と2因子交互作用がエイリアスされていない計画
非常に強力な計画であるが必要な実行数が多いのが欠点

8.8 過飽和計画

k = N - 1の飽和計画に対し、k > N - 1の計画を過飽和計画という
広く普及はしていないが、変数が多くそのうちの一部が効果があると
予想される場合には効果的

2024-11-07

【書評】実験の計画と解析(第8章前半)

今回読んだ本はこちら↓

Design and Analysis of Experiments, 9th Edition

Douglas C. Montgomery

第８章２水準部分要因計画

これまで学んできた要因計画の実験数を減らす方法が
紹介されています

実務に活かすとなるとここからが非常に重要な箇所
ただし、新たな用語の定義などが現れ
覚えることが増加します…

第８章は大ボリュームなので前後半に分けました

以下、内容の要約です

8.1 はじめに

$2^k$ 要因計画では実験のリソース上
すべての実験を実施することが不可能な場合が多い
一部実施要因計画では高次の交互作用を無視し
一部の実験のみを行うことで
主効果と低次の交互作用に関する情報を得ることができる。

8.2 $2^k$ 計画のハーフフラクション

$2^k$ 計画の半分のみを実行する計画は
$2^{k-1}$ 計画と呼ばれる

以下は新たな用語の定義

ジェネレータ
部分要因計画を作成する際に
計画を指定する符号（I=ABCなど）
実行される半分をprincipal fraction
実行されない半分をalternate fractionと呼ぶ
Generatorの選択方法によって計画の分解能（後述）が決まる
エイリアス
効果推定値が同一の形式となる組
エイリアスである効果同士は分離して
推定することはできない（交絡との違いは…？）
分解能（Resolution）
分解能Rの計画においては
p次の因子はR-p次未満の因子とエイリアスしない
$2^{k-1}$ 計画の最大分解能はk
射影（Projection）
分解能Rの計画はR-1因子の完全計画に射影できる
$2^{k-1}$ 計画
⇒ k-1因子の完全計画
⇒ k-2因子の完全計画 x 2反復
⇒ k-3因子の完全計画 x 4反復

割り付けの方法としては
$2^{k-1}$ 計画をベースデザインとして
Generatorである文字にk番目の因子を割り付ける

$2^{k-1}$ 計画で実験を実行した後
alternate fractionを実行することにより
完全な $2^k$ 計画での実施と一致する
これによりエイリアスしていない情報が手に入る

8.3 $2^k$ 計画のクオーターフラクション

$2^k$ 計画の1/4のみを実行する計画は
$2^{k-2}$ 設計と呼ばれる

GeneratorはI=P=Q=PQのように３つの組み合わせとなる
$2^{k-2}$ 計画をベースデザインとして
k-1, k番目の２つの因子を
Generator PとQを用いて割り付ける

$2^{k-2}$ 計画は元の因子の内、k-2個の任意の因子セットで
以下の通り縮小できる

Generatorに含まれる因子を用いると　　 $2^{k-1}$ 計画x2
Generatorに含まれない因子を用いると　 $2^k$ 計画

8.4 一般的な $2^{k-p}$ 一部実施要因計画

$2^{k-p}$ 計画は $2^k$ 計画のp/2だけ実行する計画
p個の独立したGeneratorを選択する必要があり
最高の分解能が得られるように選択すると
得られる情報が多い

Generatorを選択する方法は複数あるが
定義関係（Defining relation）において最小の文字数を
最小に抑える（Minimam Abberation Desing）ことで
最高分解能が得られる

効果推定量の算出はこれまで同様
$Effect_i=\frac{Contrast_i}{2^{k-p}/2}$

$2^{k−p}$ 計画は
元の因子の内、k-p個の任意の因子セットで
完全実施要因計画または一部実施要因計画に縮小される
ただし、元の計画の定義関係に含まれない因子を
選択する必要がある

第７章でふれた $2^k$ 計画と同様に
ブロッキングが可能
特定の因子をブロックと交絡させる必要があり
各計画において交絡させるべき因子が特定されている

2024-11-01

【書評】実験の計画と解析(第7章)

今回読んだ本はこちら↓

Design and Analysis of Experiments, 9th Edition

Douglas C. Montgomery

第７章　 $2^k$ 要因計画におけるブロッキングと交絡

第６章で説明された $2^k$ 要因計画を発展させ
ブロッキングを実行する場合の紹介です

実際の環境では
同じ条件で実験を繰り返すことが多いので
ブロッキングは実用上非常に重要となる概念かと思います。

以下、内容の要約です。

7.1 はじめに

第4章で扱ったブロッキングを $2^k$ 計画に適用

7.2 複製された $2^k$ 要因計画のブロック化

要因計画の反復を1つのブロックとみなす場合（5.6の復習）

7.3 $2^k$ 要因計画におけるブロック化

要因計画を複数のブロックに分割して実行することも可能
後述するように各ブロックへの割り付け方法に応じて
因子との交絡が生じる

7.4 $2^k$ 要因計画の2つのブロックによる交絡

2k要因計画を2つのブロックに分けて実行する場合
各ブロックへの割り付けは
最高次の交互作用と交絡する形で割り付ける

（符号の表を見るか、
定義コントラストと呼ばれる量を用いて
ブロックへの割り付けが可能）

ブロック化する場合としない場合で
交絡させていない主効果や交互作用の効果推定量は
同じになる

7.5 ブロッキングが重要である理由の別の例

ブロッキングすることのメリットは
誤差分散を小さくすることで
分散分析の感度があげられること

7.6 $2^k$ 要因計画の4つのブロックにおける交絡

4つのブロックに分ける場合は
3つの因子とブロックが交絡する
できるだけ高次の相互作用と交絡させる

ブロック化する方法は2つのブロックに分ける時と同様に
定義コントラストを使用する

7.7 $2^k$ 要因計画の $2^p$ ブロックにおける交絡

これまでの話を一般化すると
$2^k$ 要因計画は $2^p$ ブロックに
わけることができる(p<k)

交絡させる因子としてp個を選択し、
p個の定義コントラストを用いて割り付ける

ただしこのとき、p個の因子の交互作用により2p-p-1の他の因子も交絡することに注意

7.8 部分交絡

反復を行う場合は
各反復において交絡する因子を変更することが可能
これにより交絡させる因子の情報も得ることができる

2024-11-01

【書評】実験の計画と解析(第6章)

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Design and Analysis of Experiments, 9th Edition

Douglas C. Montgomery

第6章　 $2^k$ 要因計画

本書の本題である $2^k$ 要因計画
多数の因子を2水準の用意するスクリーニング実験に有効のようです

以下、本文の要約です

6.1 はじめに

2水準の因子がk個含まれる計画を $2^k$ 計画と呼ぶ
多数の因子を取り扱うことができるので
因子のスクリーニングに効率的なデザイン

以下の仮定が満たされる必要がある

因子は固定されている
計画は完全にランダム化されている
通常の正規性の仮定が満たされている

6.2 $2^2$ 計画

2因子分散分析と同様の内容であるが、
今後の一般化のためにコントラストや因子をコード化して説明されている

検出力を増やすために繰り返しを増やしてもいいが、
スクリーニング実験であることを踏まえ
有意水準を5%ではなく10%や20%とするのも手

6.3 $2^3$ 計画

基本的に $2^2$ 計画と考え方は同じ

効果の有意性確認のために分散分析だけでなく
各効果の信頼区間を算出し
それが0を跨ぐかどうかで判断する方法が紹介されている

各水準においてバラツキの変化を確認するために
範囲(レンジ)の確認も大切

6.4 一般的な $2^k$ 計画

6.2と6.3の内容の一般化として
因子の効果と平方和の計算方法を一般化

コントラスト　 $Contrast_{AB...K}=(a\pm1)(b\pm1)...(k\pm1)$
因子効果　　　 $AB...K=\frac{2}{n2^k}(Contrast_{AB...K})$
平方和　　　　 $SS_{AB...K}=\frac{1}{n2^k}(Contrast_{AB...K})^2$

解析手順は表6.8にまとめられている

6.5 $2^k$ 計画の単一反復

因子数が増えると反復なんかしていられない(よく言ってくれた！)
反復がない場合は誤差分散が得られないので
高次の相互作用を誤差としてプールする必要がある

方法は２パターンあり筆者は双方の使用を推奨

正規確率プロット（Daniel(1959)）
正規確率(または半正規)プロットを行い
正規分布していれる因子を誤差とし
分布から外れている因子は効果ありとする
Lenthの方法
1.の方法に対し数値で判断できる客観的な方法
MEとSMEというパラメータを計算し
これを因子効果と比較して
効果の法がが大きければ有意であると判断する。

ちなみに
高次の相互作用は一般に有意ではないという問題を
効果のスパース性
と言うらしく近年論文がでているそうな(読んでみたい)

データの標準偏差がわかっている場合は
Bisgaardの条件付き推論チャートも利用可能。

外れ値がある場合は4章で触れた方法でカバー可能

6.6 反復のない $2^k$ 計画の追加例

4つの例を紹介
効果の大きさだけでなく、分散を最小化するデータの見方も紹介されている
実験の反復(replication)と重複測定(duplicate)の違いを抑えるべし

6.7 $2^k$ 計画は最適計画

2k計画は以下の最適計画に含まれる

D-最適計画
モデル回帰係数の分散を最小化する計画
G-最適計画
予測応答の分散の最大値を最小化する計画
I-最適計画
予測応答の分散の平均値を最小化する計画

実験回数の制約により繰り返しを含む
理想の実験回数がこなせない場合は
JMPなどのソフトウェアを使って
最適計画に近い計画を立案することは可能

6.8 $2^k$ 設計への中心点の追加

通常 $2^k$ 計画は水準が＋1、−1で実施されるが
中心点（0、0）を追加することが可能
これにより…

反復がない場合は誤差の推定が可能となる
2次の効果の有無を判定する曲率検定も可能

2次の効果が認められる場合は
中心複合計画によるデータのモデル化が有効

中心点を含める設計を行う場合のポイントは以下の通り

標準的な条件を中心点として使用するとよい
慣れた条件で実験が可能
その場合、プロセスに大きな異常があるかどうか判断可能
中心点での反復は実験の最初・中程・最後に行うとよい
プロセスの異常を判断できる
事前情報がない場合は初めに中心点を複数回実行するとよい
バラツキが予想外に大きい場合は、
まずはバラツキを抑制する手筈をとるべし
定性的な因子でも中心点を想定することは可能

ちなみに
中心点を含む計画はD-最適計画ではなく
以下の使い分けが必要

中心点計画　曲率の検出が可能
D-最適計画　予測分散が小さい

6.9 コード化された設計変数を使用する理由

無次元化されるため因子同士の比較が可能となる

2024-10-24

【書評】実験の計画と解析(第5章)

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Design and Analysis of Experiments, 9th Edition

Douglas C. Montgomery

第5章　要因計画の導入

本書で大部分を割いている要因計画の説明です。
基本的には分散分析と同様の解析方法となるため
第3章までの内容を理解していることが重要です。

分散分析の教科書に比べて
繰り返しがない場合の説明も含まれていて
非常に実用的な印象でした。

以下、内容の要約です。

5.1 基本定義と原則

要因計画とは…要因のレベルの可能なすべての組み合わせを調査すること
要因自体の効果（主効果）と要因の組み合わせによる効果（交互作用）が
存在し、それぞれの解析が可能

5.2 要因計画の利点

各要因を個別に調査していく実験に対し
効率的にデータが取得でき
前述の交互作用が発見可能な点がメリット

5.3 2因子の要因計画

2因子分散分析の解説
交互作用は存在する前提で取り扱うのが著者流
モデルの妥当性確認も健在
繰返しがない場合は誤差の分散が推定できない点に注意

Tukeyの方法により
交互作用が存在するかどうかを検定することが可能
(非加法性がある場合の例が欲しいところ)

5.4 一般要因計画

3因子の場合の解説。解析方法は2因子と同様

5.5 応答曲線と応答曲面のフィッティング

定量因子を取り上げた場合は回帰分析が可能

5.6 要因計画におけるブロッキング

第4章で解説されたブロッキングを適応することも可能

2024-10-24

【書評】実験の計画と解析(第4章)

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Design and Analysis of Experiments, 9th Edition

Douglas C. Montgomery

第4章　ランダムブロック、ラテン方格および関連デザイン

いよいよ本書の本丸である実験計画に突入しました。

手始めとして、誤差因子の処理を目的として
ブロック化とラテン方格の解説がなされています。

第3章までを理解していれば大抵の内容は
同様の解析方法なので理解できるはず！

以下、内容の要約です。

4.1 ランダム化完全ブロック設計(RCBD)

実験に影響を与える可能性がある誤差要因が制御可能な場合
その因子をブロック化して取り扱うことで
分散分析の精度を向上することができる

解析の方法は通常の分散分析と同様であり
ブロックを1つの因子のように取り扱う
分散分析後のモデルの妥当性確認や
多重比較の方法もこれまで同様
欠損値がある場合、推定することが可能

4.2 ラテン方格設計

ブロック化したい誤差要因が2つある場合
ラテン方格に従った計画が有効

誤差因子を含む3つの因子に対する実験で
各因子の水準数が $p$ の場合は
実験回数が $p^3$ 回ではなく $p^2$ 回でOK
ただし、各因子の水準数は同数である必要がある

解析方法は分散分析同様で欠損値の推定も可能

4.3 グレコラテン方格

誤差因子を含む要因数が4因子の場合に使用可能
（水準数 $p$ の場合は $p^4$ ではなく $p^2$ 回でOK）

効率よく多くの因子を調査でき、分散分析表の誤差分散も減少するが
誤差の自由度が減るため、分析の感度が低下する可能性がある

4.4 バランスのとれた不完全ブロック設計(BIBD)

ランダム化ブロック計画において
各ブロックですべての水準を実施できない場合に
各水準が各ブロックに同回数含まれるように調整した計画

完全ブロック計画との違いは以下の通り

平方和の計算方法
因子の効果を解析したい場合とブロックの効果を解析したい場合で
平方和の計算方法に調整が必要
効果の推定
値自体の平均値 $y_i.$ ではなく調整された平均値 $Q_i.$ を用いて推定する
ブロック内推定値とブロック間推定値が使用可能
(よく理解できず…要リベンジ…)

Design and Analysis of Experiments, 9th Edition

第9章 要因計画と部分要因計画の追加の計画と分析トピック

9.1 要因計画

9.2 要因計画における交絡

9.3 要因計画の部分複製

9.4 混合水準の要因

9.5 非正規部分要因計画

9.6 最適化計画ツールを使用した要因計画と部分要因計画の作戦

Design and Analysis of Experiments, 9th Edition

第８章 ２水準部分要因計画

8.5 一部実施要因計画およびその他の計画におけるエイリアス構造

8.6 解像度Ⅲ計画

フォールドオーバー

Plackett-Burman計画

8.7 解像度Ⅳ, Ⅴの計画

解像度Ⅳの計画

解像度Ⅴの計画

8.8 過飽和計画

Design and Analysis of Experiments, 9th Edition

第８章 ２水準部分要因計画

8.1 はじめに

8.2 計画のハーフフラクション

8.3 計画のクオーターフラクション

8.4 一般的な一部実施要因計画

Design and Analysis of Experiments, 9th Edition

第７章 要因計画におけるブロッキングと交絡

7.1 はじめに

7.2 複製された要因計画のブロック化

7.3 要因計画におけるブロック化

7.4 要因計画の2つのブロックによる交絡

7.5 ブロッキングが重要である理由の別の例

7.6 要因計画の4つのブロックにおける交絡

7.7 要因計画のブロックにおける交絡

7.8 部分交絡

Design and Analysis of Experiments, 9th Edition

第6章 要因計画

6.1 はじめに

6.2 計画

6.3 計画

6.4 一般的な計画

6.5 計画の単一反復

6.6 反復のない計画の追加例

6.7 計画は最適計画

6.8 設計への中心点の追加

6.9 コード化された設計変数を使用する理由

Design and Analysis of Experiments, 9th Edition

第5章 要因計画の導入

5.1 基本定義と原則

5.2 要因計画の利点

5.3 2因子の要因計画

5.4 一般要因計画

5.5 応答曲線と応答曲面のフィッティング

5.6 要因計画におけるブロッキング

Design and Analysis of Experiments, 9th Edition

第4章 ランダムブロック、ラテン方格および関連デザイン

4.1 ランダム化完全ブロック設計(RCBD)

4.2 ラテン方格設計

4.3 グレコラテン方格

4.4 バランスのとれた不完全ブロック設計(BIBD)

第9章　要因計画と部分要因計画の追加の計画と分析トピック

9.1 $3^k$ 要因計画

9.2 $3^k$ 要因計画における交絡

9.3 $3^k$ 要因計画の部分複製

第８章２水準部分要因計画

第８章２水準部分要因計画

8.2 $2^k$ 計画のハーフフラクション

8.3 $2^k$ 計画のクオーターフラクション

8.4 一般的な $2^{k-p}$ 一部実施要因計画

第７章　 $2^k$ 要因計画におけるブロッキングと交絡

7.2 複製された $2^k$ 要因計画のブロック化

7.3 $2^k$ 要因計画におけるブロック化

7.4 $2^k$ 要因計画の2つのブロックによる交絡

7.6 $2^k$ 要因計画の4つのブロックにおける交絡

7.7 $2^k$ 要因計画の $2^p$ ブロックにおける交絡

第6章　 $2^k$ 要因計画

6.2 $2^2$ 計画

6.3 $2^3$ 計画

6.4 一般的な $2^k$ 計画

6.5 $2^k$ 計画の単一反復

6.6 反復のない $2^k$ 計画の追加例

6.7 $2^k$ 計画は最適計画

6.8 $2^k$ 設計への中心点の追加

第5章　要因計画の導入

第4章　ランダムブロック、ラテン方格および関連デザイン